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Il giratore come induttanza simulata

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Il giratore come induttanza simulata.

Uno degli accessori del nostro alimentatore modulare è un giratore.
Nel nostro caso il giratore è utilizzato come induttanza attiva, cioè simula il comportamento di una induttanza per quanto riguarda l'andamento dell'impedenza in base alla frequenza.
Nota: differenza di una induttanza,  non cede l'energia, quindi lavora su un singolo quadrante, il che non ne inficia assolutamente il funzionamento per quanto riguarda il filtraggio.

il valore dell'induttanza simulata è

L = C*R1*R3

vediamo il caso del circuito in cui siano utilizzati i seguenti valori:
R1 = 330k
R2 = 100k
R3 =  27 Ohm
C =  10uF 
 e confrontiamolo con una induttaza da 100 Henry.
L'immagine qui sotto ci mostra le curve del giratore in questione ( in viola ) e quella dell'induttanza ( in verde ) come possiamo vedere le curve sono quasi sovrapponibili.
curve giratore
da qui in avanti se volete continuare a leggere c'è la trattazione relativa al circuito in oggetto sia a livello matematicio che a livello ingegneristico

IL GIRATORE: TRATTAZIONE MATEMATICA

il circuito del giratore utilizzato è il seguente:
circuito giratore
e la sua rappresentazione per piccoli segnali è la seguente:
circuito giratore per piccoli segnali
abbiamo messo in evidenza le correnti ed utilizzando i metodi delle tensioni ai nodi e delle correnti di maglia riusciamo a rappresentarlo con il sistema di quattro equazioni lineari in quatto incognite qui sotto.
left lbrace stack { (R_3+r_ds)i_1-r_ds i_2+R_3 i_4=v_i # i_2+(1+g_m R_2)i_3-R_2 g_m i_4 = 0 # r_ds i_1-r_ds i_2 + ( R_1+R_2)i_3+R_2 i_4=0 # R_3 i_1-R_2 i_3+ ( r_2+R_3+X_c)i_4=0} right none

semplificando otteniamo
left lbrace stack { i_1-r_ds over {R_3+r_ds}i_2+R_3 over {R_3+r_ds} i_4=v_i over {R_3+r_ds} # _2+(1+g_m R_2)i_3-R_2 g_m i_4 = 0 # i_1-i_2 + { R_1+R_2} over r_ds i_3+R_2 over r_ds i_4=0 #i_1-R_2 over R_3 i_3+ { r_2+R_3+X_c} over R_3 i_4=0} right none

e la matrice del sistema associato è la seguente:
left[ { matrix { 1 # -r_ds over {R_3+r_ds}# 0# R_3 over {R_3+r_ds}## 1# 0#(1+g_m R_2)#-R_2 g_m ## 1 # -1 # { R_1+R_2} over r_ds# R_2 over r_ds ## 1 # 0 # -R_2 over R_3 # { r_2+R_3+X_c} over R_3} } right] = left[ stack { v_i over {R_3+r_ds}# 0# 0 # 0} right]

la soluzione non è proprio semplice ed è tutt'altro che corta potete darla da digerire a wolphram alpha, oppure potete calcolarla a mano, sperando di non incappare in uno dei classici errori di svista che renderebbero vane ore di calcoli.
a noi interessa solo i1
i_1 = v_i * {{ R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 X_c + 2 R_2^2 + R_2 R_3 r_ds g_m + R_2 R_3 + R_2 X_c r_ds g_m + R_2 X_c + R_2 r_ds + R_3 r_ds + r_ds X_c } over {R_1 R_2 R_3 r_ds g_m + R_1 R_2 R_3+R_1 R_2 r_ds + R_1 R_3 X_c + R_1 R_3 r_ds+R_1 X_c r_ds+2R_2^2 R_3 r_ds g_m + 2 R_2^2 R_3+2 R_2^2 r_ds + R_2 R_3 X_c r_ds g_m+ R_2 R_3 X_c + 2 R_2 R_3 r_ds + R_3 r_ds X_c}}
sappiamo che X_c=1 over {j %omega C}, ma poiché lavoriamo su un solo quadrante possiamo assumere che J %omega = 2 %pi fquindi la sostituzione che faremo sarà X_c=1 over {2 %pi f C}
e la nostra soluzione sarà:
i_1= V_i*{{R_1 R_2+R_1 R_3+R_1 over {2 %pi f C }+2 R_2^2+R_2 R_3 r_ds g_m+R_2 R_3+R_2 over {2 %pi f C } r_ds g_m+R_2 over {2 %pi f C}+R_2 r_ds+R_3 r_ds+r_ds over {2 %pi f C } } over {R_1 R_2 R_3 r_ds g_m+R_1 R_2 R_3+R_1 R_2 r_ds+{R_1 R_3} over {2 %pi f C }+R_1 R_3 r_ds+R_1 over {2 %pi f C } r_ds+2R_2^2 R_3 r_ds g_m+2 R_2^2 R_3+2 R_2^2 r_ds+{R_2 R_3} over {2 %pi f C } r_ds g_m+{R_2 R_3} over {2 %pi f C }+2 R_2 R_3 r_ds+{R_3 r_ds} over {2 %pi f C }}}

poiché a noi interessa l'impedenza Zi cioè
otteremo

Z_i={R_1 R_2 R_3 g_m r_ds+R_1 R_2 R_3+R_1 R_2 r_ds+{R_1 R_3} over {2 %pi f C }+R_1 R_3 r_ds+{R_1 r_ds} over {2 %pi f C } +2R_2^2 R_3 g_m r_ds+2 R_2^2 R_3+2 R_2^2 r_ds+{R_2 R_3} over {2 %pi f C } g_m r_ds+{R_2 R_3} over {2 %pi f C }+2 R_2 R_3 r_ds+{R_3 r_ds} over {2 %pi f C }} over {R_1 R_2+R_1 R_3+R_1 over {2 %pi f C }+2 R_2^2+R_2 R_3 r_ds g_m+R_2+R_3+R_2 over {2 %pi f C } r_ds g_m+R_2 over {2 %pi f C }+R_2 r_ds+R_3 r_ds+r_ds over {2 %pi f C }}

come possiamo vedere la situazione è tutt'altro che semplice e la formula a meno di ave3re una calcolatrice scientifica in cui inserirla è praticamente inutilizzabile.

IL GIRATORE: TRATTAZIONE PRATICA

Qui ci vengono in aiuto la mentalità dell'ingegnere, un po' di buonsenso e la semplificazione: ipotizzando un condensatore di almeno una decina di microfarad, a 100Hz, che è la frequenza dell'ondulazione residua ( ripple ) che vogliamo eliminare, questo ha una impedenza di un centinaio di ohm, QUINDI molto più bassa di R2,   e quin di ai fini del calcolo R2 può essere trascurata.
il nostro circuito diviene quindi il seguente:
giratore semplificato
---- NOTA!! per quanto riguarda la polarizzazione del MosFet R2 è invece ESSENZIALE, mentre C non va considerato
Il circuito equivalente è quindi il seguente e le formule relative sono queste:
left lbrace stack { i_1 = g_m v_gs # v_gs = V_i { X_c over {R_1 + X_c }} - i_1 R_3 } right none
Sostituendo e semplificando

v_gs = V_i { X_c over {R_1 + X_c }} - g_m v_gs R_3


v_gs = V_i { X_c over {(R_1 + X_c) ( 1 + g_m R_3 ) }}

 

Z_L = V_i over I_1 = { {(R_1 + X_c) ( 1 + g_m R_3 ) }over {g_m X_C}}
sappiamo che

X_c=1 over {j %omega C}

quindi

Z_L = { {(j %omega C R_1 + 1) ( 1 + g_m R_3 )}over {j %omega C} }over {g_m over {j %omega C}}

e semplificando ulteriormente

Z_L = { {(j %omega C R_1 + 1) ( 1 + g_m R_3 )} over g_m }

a noi interessa una formula che assomigli a quella dell'induttanza reale e che sia dipendente da C quindi qualcosa del tipo

la nostra induttanza è quindi

e trascurando anche 1/Gm otteniamo che il valore dell'induttanza simulata è
L = C*R1*R3